Begay ble født i Tuba City, Arizona, 11. januar 1954. Han vokste opp på Navajo-reservatet, hvor han lærte om tradisjonell Navajo-kultur fra foreldrene og besteforeldrene. Begay begynte å tegne og male i ung alder, og han innså snart at han hadde et talent for kunst.
Etter endt utdanning fra videregående studerte Begay kunst ved Institute of American Indian Arts i Santa Fe, New Mexico. Deretter gikk han på University of Arizona, hvor han fikk en Bachelor of Fine Arts-grad.
Begays malerier skildrer en rekke emner, inkludert Navajo-seremonier, ritualer og hverdagsliv. Hans arbeid er preget av dets livlige farger, intrikate mønstre og sterke følelse av åndelighet. Begays malerier har blitt rost for deres skjønnhet, deres kulturelle betydning og deres evne til å fange essensen av Navajo-livet.
Begays verk har blitt stilt ut i museer og gallerier over hele verden, inkludert Smithsonian Institution, Heard Museum og Museum of Modern Art. Han har også mottatt en rekke priser, inkludert National Endowment for the Arts Fellowship, Arizona Governor's Arts Award og Native American Art Awards.
Begays arbeid fortsetter å inspirere og utdanne seerne om Navajo-kulturen. Han regnes som en av de viktigste indianske artistene i sin generasjon.
Begay døde av kreft 17. august 2012 i Tuba City, Arizona. Han var 58 år gammel.